Question

17．已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，若${S_1}=2{，_{\;}}3{S_n}^2-2{a_{n+1}}{S_n}=a_{n+1}^2$，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$（n≥2），即数列{a_n}从第二项起构成以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得答案．

解答 解：由S₁=2，得a₁=S₁=2，
由$3{{S}_{n}}^{2}-2{a}_{n+1}{S}_{n}={{a}_{n+1}}^{2}$，
得$4{{S}_{n}}^{2}=（{S}_{n}+{a}_{n+1}）^{2}$，
又a_n＞0，
∴2S_n=S_n+a_n+1，即S_n=a_n+1，
当n≥2时，S_n-1=a_n，
两式作差得：a_n=a_n+1-a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，
又由${S_1}=2{，_{\;}}3{S_n}^2-2{a_{n+1}}{S_n}=a_{n+1}^2$，求得a₂=2，
∴当n≥2时，${a}_{n}={2}^{n-1}$．
验证n=1时不成立，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{，_{\;}}_{\;}n=1\\{2^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．