Question

已知M是△ABC内的一点（不含边界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

，则f（x，y，z）的最小值为（　　）

• A、26
• B、32
• C、36
• D、48

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：先由条件求得AB•AC=4，再由S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1． 再由f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

=（

1

x

+

4

y

+

9

z

）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴AB•AC•cos30°=2

3

，∴AB•AC=4．
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

=（

1

x

+

4

y

+

9

z

）（x+y+z）
=1+4+9+

4x

y

+

y

x

+

9x

z

+

z

x

+

4z

y

+

9y

z

≥14+4+6+12=36，
即f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

的最小值为36，
故选：C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．