Question

18．已知命题p：关于x的方程x²+ax+a=0无实根；q：关于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，若q或p为真，q且p为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：关于x的方程x²+ax+a=0无实根，则△＜0；q：关于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，则|2a|＞1．若q或p为真，q且p为假，可得：∴p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：关于x的方程x²+ax+a=0无实根，则△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4；
q：关于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，则|2a|＞1，解得a$＞\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{1}{2}$．
若q或p为真，q且p为假，
∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥4}\\{a＞\frac{1}{2}或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜a≤\frac{1}{2}$，$a＜-\frac{1}{2}$或a≥4．
∴实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{1}{2}$，$a＜-\frac{1}{2}$或a≥4．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．