Question

【题目】已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的实轴端点分别为A1 ， A2 ， 记双曲线的其中的一个焦点为F，一个虚轴端点为B，若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2= ，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A.（ ， ）
B.（ ， ）
C.（1， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由题意可设F（0，c），B（b，0），则直线BF的方程为cx+by﹣bc=0， ∵在线段BF上（不含端点）有且只有不同的两点Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2= ，
∴线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即 ＜a，化为b2c2＜a4 ，
又b2=c2﹣a2 ， e= ，
∴e4﹣3e2+1＜0，解得 ＜e2＜ ，又e＞1
∴1＜e＜ ，
∵在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2= ，
可得a＜b，
∴a2＜c2﹣a2 ， 解得e＞ ，
综上得， ＜e＜ ．
故选：A．