Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面SAD为边长2的正三角形，且面SAD⊥面ABCD．AB=

2

，E为AD中点；
（1）求证：BD⊥SC；
（2）求二面角E-SC-B的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BD⊥SC，先证明BD⊥面SEC，只需证明BD⊥CE，SE⊥BD；
（2）以E为原点，EA、ES所在直线分别为x轴，z轴建立坐标系，求出面ESC的法向量、面ESB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-SC-B的大小．

解答： （1）证明：连接BD，设BD∩CE=O，
∵ED=1，CD=

2

，BC=2，
∴△CDE∽△BCD，∴∠DBC=∠ECD，
∵∠DBC+∠BDC=90°，∴∠ECD+∠BDC=90°，
∴∠COD=90°，∴BD⊥CE…（2分）
∵△SAD为正三角形，E为AD中点，
∴SE⊥AD，
又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD
∴SE⊥面ABCD．
∵BD?面ABCD，∴SE⊥BD，
∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，∴BD⊥面SEC，
∵SC?面SEC，∴BD⊥SC…（6分）
（2）解：如图，以E为原点，EA、ES所在直线分别为x轴，z轴建立如图所示坐标系，则A（1，0，0），B（1，

2

，0），C（-1，

2

，0），D（-1，0，0），S（0，0，

3

），E（0，0，0）
∴

SC

=（-1，

2

，-

3

），

SE

=（0，0，

3

），

SB

=（1，

2

，-

3

），
设面ESC的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），设面ESB的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），则：

n1

⊥

SC

，

n1

⊥

SE

，

n2

⊥

SC

，

n2

⊥

SB

∴

-x1+ 2 y1- 3 z1=0 3 x1=0

，

-x2+ 2 y2- 3 z2=0 x2+ 2 y2- 3 z2=0

解得：

n1

=（

2

，1，0），

n2

=（0，

3

，

2

）
∴

n1

•

n2

=

3

，|

n1

|=

3

，|

n2

|=

5

…（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

3

3 × 5

=

5

5

，
∴＜

n1

，

n2

＞=arccos

5

5

设二面角E-SC-B的平面角为θ，由图可知θ=＜

n1

，

n2

＞=arccos

5

5

°
即二面角E-SC-B的大小为arccos

5

5

…（12分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判断，以及二面角平面角的度量等有关知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．