Question

（a+2x+3x²）（1+x）⁵的展开式中一次项的系数为-3，则x⁵的系数为

 

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Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（a+2x+3x²）（1+x）⁵的展开式中x项由两部分相加得到：①（a+2x+3x²）中的常数项与（1+x）⁵展开式中的x项 ②（a+2x+3x²）中的x项与（1+x）⁵展开式中的常数项．分别求的系数再相加即可求出a，然后求解：③（-1+2x+3x²）中的常数项与（1+x）⁵展开式中的x⁵项；④（-1+2x+3x²）中的x项与（1+x）⁵展开式中的x⁴项；⑤（-1+2x+3x²）中的x²项，（1+x）⁵展开式中的x³项；分别求系数乘积再相加即可．

解答： 解：∵（a+2x+3x²）（1+x）⁵的展开式中x项由两部分相加得到：
①（a+2x+3x²）中的常数项与（1+x）⁵展开式中的x项，
②（a+2x+3x²）中的x项与（1+x）⁵展开式中的常数项相加．
（1+x）⁵的展开式的常数项为：1，
（1+x）⁵的展开式中x的系数等于5．
（a+2x+3x²）（1+x）⁵的展开式中一次项的系数为-3，∴2+5a=-3，∴a=-1．
③（-1+2x+3x²）中的常数项为-1；（1+x）⁵展开式中的x⁵项为1；④（-1+2x+3x²）中的x项为2，（1+x）⁵展开式中的x⁴项5；⑤（-1+2x+3x²）中的x²项为3，（1+x）⁵展开式中的x³项10，
分别求的系数再相加即可．-1+2×5+3×10=39．
故答案为：39．

点评：本题考查二项式定理的应用，要注意本题中所求系数应由两部分组成．否则易出错．