Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是

 

．（请写出所有正确命题的序号）
①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；
②函数y=f（x）的值域是R；
③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；
④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；
⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：不妨取λ=-1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．因为双曲线

x2

16

-

y2

9

=-1和-

x2

16

+

y2

9

=-1的渐近线为y=±

3

4

x，即可得出结论．

解答： 解：不妨取λ=-1，对于①，当x≥0且y≥0时，方程为

x2

16

+

y2

9

=-1，此时方程不成立．
当x＜0且y＜0时，方程为

x2

16

+

y2

9

=1，此时y=-3

- x2 16 +1

．
当x≥0且y＜0时，方程为

x2

16

-

y2

9

=-1，此时y=-3

x2 16 +1

．
当x＜0且y≥0时，方程为-

x2

16

+

y2

9

=-1，即y=3

x2 16 -1

．
因此作出函数的图象，如图所示
由图象可知函数在R上单调递减，所以①②③成立，④不正确．
⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．
因为双曲线

x2

16

-

y2

9

=-1和-

x2

16

+

y2

9

=-1的渐近线为y=±

3

4

x，
所以函数y=f（x）与直线y=-

3

4

x无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得⑤不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于难题．