Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的两根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_na_n-1b_n=1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先求得a₁，a₂得出d，即可写出a_n．
（2）利用（1）可得b_n=

1

anan-1

=

1

(4n+1)(4n-3)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），利用裂项相消法即可求得数列的和．

解答： 解：（1）∵a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的两根，且公差d大于0，
∴a₁=5，a₂=9，∴d=4，
∴a_n=5+4（n-1）=4n+1．
（2）∵a_na_n-1b_n=1，∴b_n=

1

anan-1

=

1

(4n+1)(4n-3)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）=

1

4

（1-

1

4n+1

）=

n

4n+1

．

点评：本题主要考查等差数列的定义及性质和数列求和的方法裂项相消法，考查学生的运算求解能力，属中档题．