给出下列命题:①已知函数f(x)=x3+2x-3x-1.ax+1.在点x=1处连续.则a=4,②若不等式|x+1x|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立.则实数a的取值范围是1＜a＜3,③不等式(x-2)|x2-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2}④如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值.则△A1B1C1为锐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

给出下列命题：
①已知函数f（x）=

x3+2x-3

x-1

，(x＞1)

ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，则a=4；
②若不等式|x+

|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是1＜a＜3；
③不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2}
④如果△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值分别等于△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值，则△A₁B₁C₁为锐角三角形，△A₂B₂C₂为钝角三角形．其中真命题的序号是

（将所有真命题的序号都填上）

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据函数f（x）=

x3+2x-3

x-1

，(x＞1)

ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，求出a值，可判断①；根据原不等式恒成立，|a-2|+1＜2，求出a的范围，可判断②；解不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0，可判断③；根据已知结合三角函数的符号，利用反证法，可判断④．

解答： 解：若函数f（x）=

x3+2x-3

x-1

，(x＞1)

ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，则

lim

x→1

x3+2x-3

x-1

=4=a+1，则a=3，故①错误；
不等式|x+

|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则|a-2|+1＜2，解得1＜a＜3，故②正确；
（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2或x=-2}，故③错误；
△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值也均大于0，则△A₁B₁C₁是锐角三角形．
若△A₂B₂C₂是锐角三角形，由

sinA2=cosA1=sin(

-A1)

sinB2=cosB1=sin(

-B1)

sinC2=cosC1=sin(

-C1)

，
得

A2=

-A1

B2=

-B1

C2=

-C1

，
那么，A₂+B₂+C₂=

，这与三角形内角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨设A₂=

，
则sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范围内无值．
所以△A₂B₂C₂是钝角三角形，故④正确；
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的连续性，解不等式，解三角形，恒成立问题，难度中档．

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