Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c+lnx（a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1．
（Ⅰ）试用a表示b、c；
（Ⅱ）讨论f（x）的定义域上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：第（1）问较简单，先将（1，f（1））代入切线方程求出f（1），再将（1，f（1））代入f（x）得到一个关于a，b，c的方程，再利用f′（1）=1得到第二个关于a，b，c的方程．联立即可用a表示b，c．
第（2）问应该先求定义域，然后求导，将讨论单调性的问题转化为一个讨论不等式的问题，一般是将不等式化归为一元二次不等式的问题，然后结合二次函数的图象对不等式的解进行讨论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b+

1

x

，∴f′（1）=2a+b+1，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1，∴2a+b+1=1，f（1）=a+b+c=0，∴b=-2a，c=a
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=2ax-2a+

1

x

=

2ax2-2ax+1

x

=

2a(x- 1 2 )2+1- a 2

x

（x＞0），
①当a＜0时，1-

a

2

＞0，令f′（x）=0得x1=

1

2

(1-

1- 2 a

)＜0，x2=

1

2

(1+

1- 2 a

)＞0，
∴当x∈(0，

1

2

(1+

1- 2 a

))时，f′(x)＞0，f（x）单调递增，当x∈(

1

2

(1+

1- 2 a

)，+∞)时，f′(x)＜0，f（x）单调递减；
②当0＜a≤2时，1-

a

2

≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2时，1-

a

2

＜0，令f′（x）=0得x1=

1

2

(1-

1- 2 a

)＞0，x2=

1

2

(1+

1- 2 a

)，
当x∈(0，

1

2

(1-

1- 2 a

))时，f′(x)＞0，f（x）单调递增，
当x∈(

1

2

(1-

1- 2 a

)，

1

2

(1+

1- 2 a

))时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

2

(1+

1- 2 a

)，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

点评：研究函数的单调性，本质上就是求解不等式的问题，一般的思路是求定义域、求导数、化简成一元二次不等式、解不等式．最后一个环节往往是借助于不等式所对应的二次函数图象分类讨论解决问题．这是一个高考的重点，也是热点问题．