Question

设函数f（x）=e^x，g（x）=f（x）-ax²-bx-1，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）已知x₁，x₂∈R，求证：

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f（

x1+x2

2

）；
（Ⅱ）函数h（x）是g（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过作差法化简表达式，利用配方法推出差值大于等于0，即可．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过h（x）=f'（x），利用新函数的导数h'（x）=e^x-2a，利用（1）当a≤

1

2

，h（x）在[0，1]上的单调性，推出h（x）≥1-e．（2）当a＞

e

2

时，推出h（x）≥-2a．（3）当

1

2

＜a≤

e

2

时，通过导数求解h（x）≥2a-2aln2a-e．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)
=

1

2

(ex1+ex2)-e

x1+x2

2

=

1

2

(ex1+ex2-2e

x1+x2

2

)=

1

2

(e

x1

2

-e

x2

2

)2≥0．
∴

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax²-bx-1=e^x-ax²-bx-1，h（x）=g'（x）=e^x-2ax-b，h'（x）=e^x-2a
（1）当a≤

1

2

时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=1-b．
（2）当a＞

e

2

时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a＞e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，
所以h（x）≥h（1）=e-2a-b．
（3）当

1

2

＜a≤

e

2

时，h'（x）=e^x-2a=0得x=ln（2a）
h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（ln2a）=2a-2aln2a-b…（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用，不等式的证明，函数的单调性已经函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．