Question

15．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，若|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值为2（λ∈R），则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（　　）

• A． 0
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$．|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$≥2（λ∈R），化为：16λ²-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-4≥0对于λ∈R恒成立，必须△≤0，解出即可得出．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$．
若|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$≥2（λ∈R），
化为：16λ²-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-4≥0对于λ∈R恒成立，
∴△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}$-64（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-4）≤0，化为$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-8）^{2}$≤0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=8．
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、二次函数的性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．