Question

3．设F₁和F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=±$\sqrt{3}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$x

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），则|F₁P|=$\sqrt{{c}^{2}+4{b}^{2}}$，由F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F₁P|=$\sqrt{{c}^{2}+4{b}^{2}}$=2c，由此可求出b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，进而得到双曲线的渐近线方程．

解答 解：若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），则|F₁P|=$\sqrt{{c}^{2}+4{b}^{2}}$，
∵F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
∴$\sqrt{{c}^{2}+4{b}^{2}}$=2c，∴c²+4b²=4c²，
∴c²+4（c²-a²）=4c²，
∴c²=4a²，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\sqrt{3}$x．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，主要是渐近线方程的求法，在解题时要注意审题，由F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三个顶点建立方程，考查运算能力，属于中档题．