Question

7．已知抛物线Г：y²=4px（p＞0），AB为过抛物线Г焦点的弦，AB的中垂线交抛物线Г于点C，D．若$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，则直线AB的方程为（　　）

• A． y=±（x-p）
• B． y=±2（x-p）
• C． y=±$\frac{2}{3}$（x-p）
• D． y=±$\frac{1}{2}$（x-p）

Answer 1

分析 设直线AB方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得AB的中点坐标，则CD方程：x=-$\frac{1}{m}$y+2pm²+3p，代入抛物线方程，求得CD的中点，由题意$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，则A在以CD为直径的圆上，则|AN|=|BN|=$\frac{1}{2}$|CD|，即可求得m的值，求得AB的方程．

解答 解：由题意可得，直线AB和坐标轴不垂直，y²=4px的焦点F（p，0），
设l的方程为 x=my+p（m≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+p}\\{{y}^{2}=4px}\end{array}\right.$，可得y²-4mpy-4p²=0，显然判别式△=16p²m²+16p²＞0，
y₁+y₂=4mp，y₁•y₂=-4p²．
∴AB的中点坐标为M（2pm²+p，2mp），弦长|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=4p（m²+1）．
又直线CD的斜率为-m，
∴直线CD的方程为 x=-$\frac{1}{m}$y+2pm²+3p．
把线CD的方程代入抛物线方程可得 y²+$\frac{4p}{m}$y-4p²（2m²+3）=0，
∴y₃+y₄=-$\frac{4p}{m}$，y₃•y₄=-4p²（2m²+3）．
故线段CD的中点坐标为N（$\frac{2p}{{m}^{2}}$+2pm²+3p，-$\frac{2p}{m}$），
∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\frac{4p（{m}^{2}+1）\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{AD}$，则A在以CD为直径的圆上，则|AN|=|BN|=$\frac{1}{2}$|CD|，
∴$\frac{1}{4}$丨AB丨²+丨MN丨²=$\frac{1}{4}$丨CD丨²，
∴4p²（m²+1）² +（2mp+$\frac{2p}{m}$）²+（$\frac{2p}{{m}^{2}}$+p）=$\frac{1}{4}$•$\frac{16{p}^{2}（{m}^{2}+1）（2{m}^{2}+1）}{{m}^{4}}$，化简可得 m²-1=0，
∴m=±1，
∴直线AB的方程为 x-y-p=0，或 x+y-p=0．
则y=±（x-p），
故选A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于难题．