Question

（1）已知：sinα+sinβ=

3

5

cosα+cosβ=

4

5

求cos（α-β）的值
（2）将（1）中已知条件进行适当改变，能否求出sin（α-β）的值，若能求出其值，若不能请说明理由．
（3）你能依此也创设一道类似题吗？或将本例推广到一般情形．

Answer 1

分析：（1）由两角差的余弦公式以及cosα+cosβ=

4

5

，sinα+sinβ=

3

5

，可对此两方程平方相加，即可求得cos（α-β）的值；
（2）由于sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，知需要求出正弦与余弦交叉项的乘积，由此改变条件即可；
（3）由前两小题知，知两角正弦和与余弦和则可解出两角差的余弦，知两角正弦与余弦和，则可求出两角差的正弦．

解答：解：（1）由题意sinα+sinβ=

3

5

，cosα+cosβ=

4

5

，将此两方程平方相加得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1
即2cos（α-β）=-1，解得cos（α-β）=-

1

2

（2）可交换两个方程中角β的函数名且将其中一个方程中的加号改为减号，再平方相加得到sin（α-β）的值
可令sinα+cosβ=

3

5

，cosα-sinβ=

4

5

将此两方程平方相加2-2（sinαcosβ-cosαsinβ）=1，即sin（α-β）=-

1

2

（3）由上知，若已知两角正弦的和与余弦的和，可求出两角差的余弦，
若已知两角正弦与余弦的和，两解余弦与正弦的差，可求出两差的正弦．

点评：本题本两角和与差的正弦函数，解题的关键是熟练掌握公式，本题的难点是对第二小题的分析探究，要注意根据两角差的正弦函数展开式寻求条件的改进方法