Question

3．若等差数列{a_n}的前n项和S_n=n²，则$\frac{2{S}_{n}+24}{{a}_{n}+1}$的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 8
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由S_n=n²，可得a₁=1，a₂=3．可得等差数列{a_n}的公差d=2．可得a_n．可得$\frac{2{S}_{n}+24}{{a}_{n}+1}$=n+$\frac{12}{n}$，令f（x）=x+$\frac{12}{x}$（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：由S_n=n²，可得a₁=1，1+a₂=2²，解得a₂=3．
∴等差数列{a_n}的公差d=3-1=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{2{S}_{n}+24}{{a}_{n}+1}$=$\frac{2{n}^{2}+24}{2n-1+1}$=n+$\frac{12}{n}$，
令f（x）=x+$\frac{12}{x}$（x≥1），
f′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$，
当1≤x＜2$\sqrt{3}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x$＞2\sqrt{3}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增．
∴n=3或4时，n+$\frac{12}{n}$取得最小值7．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．