Question

8．设y=f（x）是R上的奇函数．且当x∈R时．都有f（x+2）=-f（x）
（1）试证明f（x）是周期函数．并求其周期：
（2）试证x=1是函数y=f（x）图象的对称轴：
（3）若当-1≤x≤1时，f（x）=sinx．试写出当x∈[1，5]时．f（x）的解析式：
（4）对于第（3）小题中的f（x）．若集A={x||f（x）|＞a，x∈R}是非空集合，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中当x∈R时．都有f（x+2）=-f（x），易得f（x+4）=f（x），根据函数周期性的定义，可得结论；
（2）结合函数的奇偶性，可得f（x）=f（-x+2），故x=1是函数y=f（x）图象的对称轴：
（3）由当x∈R时．都有f（x+2）=-f（x），可得f（x-2）=-f（x），f（x-4）=f（x），结合当-1≤x≤1时，f（x）=sinx．可得当x∈[1，5]时．f（x）的解析式：
（4）结合正弦函数的图象和性质，求出|f（x）|的最大值，进而可得实数a的取值范围．

解答 证明：（1）∵当x∈R时．都有f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数．
（2）∵y=f（x）是R上的奇函数．
∴f（x）=-f（-x）
又由当x∈R时．都有f（x+2）=-f（x）
∴-f（-x）=f（-x+2），
即f（x）=f（-x+2），
故x=1是函数y=f（x）图象的对称轴：
解：（3）∵当x∈R时．都有f（x+2）=-f（x）
∴f（x-2）=-f（x），f（x-4）=f（x），
当-1≤x≤1时，f（x）=sinx．
∴当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，
此时f（x-2）=sin（x-2）=-f（x），
∴f（x）=-sin（x-2）
∴当3≤x≤5时，-1≤x-4≤1，
此时f（x-4）=sin（x-4）=f（x），
∴f（x）=sin（x-5）
综上所述：当x∈[1，5]时．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-sin（x-2），1≤x≤3\\ sin（x-4），3≤x≤5\end{array}\right.$，
（4）当x∈[1，5]时．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-sin（x-2），1≤x≤3\\ sin（x-4），3≤x≤5\end{array}\right.$∈[sin（-1），sin1]，
∴|f（x）|∈[0，sin1]，
若集A={x||f（x）|＞a，x∈R}是非空集合，
则sin1＞a，
即实数a的取值范围为（-∞，sin1）

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数的对称性，函数的解析式，函数的值域，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．