Question

18．一圆经过A（3，-2）、B（2，1）两点，求分别满足下列条件的圆的方程：
（1）圆心在直线x-2y-3=0上；
（2）在两坐标轴上的四个截距之和为2．

Answer 1

分析 （1）求出AB的垂直平分线方程，和圆心所在直线方程联立，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求出半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）设出圆的一般式方程，由题意可得-D-E=2，再由两点在圆上，联立方程组求得D、E、F，则圆的方程可求．

解答 解：（1）∵A（3，-2）、B（2，1），
∴AB的中点坐标为（$\frac{5}{2}，-\frac{1}{2}$），${k}_{AB}=\frac{-2-1}{3-2}=-3$，
则AB的垂直平分线方程为$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（x-\frac{5}{2}）$，即x-3y-4=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y-4=0}\\{x-2y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴所求圆的圆心坐标为（1，-1），
半径r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+1）^{2}}=\sqrt{5}$．
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=5；
（2）设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由y=0，得x²+Dx+F=0，则x₁+x₂=-D；
由x=0，得y²+Ey+F=0，则y₁+y₂=-E．
∴-D-E=2 ①，
又A（3，-2）、B（2，1）在圆上，
则9+4+3D-2E+F=0 ②，
4+1+2D+E+F=0 ③，
联立①②③，解得：D=$-\frac{7}{2}$，E=$\frac{3}{2}$，F=$\frac{1}{2}$．
∴所求圆的方程为${x}^{2}+{y}^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0$，
即2x²+2y²-7x+3y+1=0．

点评 本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解，是基础题．