Question

20．已知集合A={x|x²-6x+5=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-3）=0}，
（1）若A∩B={1}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）1∈B，可得1²+2（a+1）+（a²-3）=0，求出a，验证即可求实数a的值；
（2）由已知求出集合A，由A∪B=A，推出B⊆A，通过B为空集，不是空集分别列出a的关系式，得到关于a的不等式或不等式组组，解不等式组，求解，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵A∩B={1}，
∴1∈B，
∴1²+2（a+1）+（a²-3）=0，
∴a=0或-2，
a=0，B={1，-3}，符合题意；a=-2，B={1}，符合题意，
∴a=0或-2；
（2）∵集合A={x|x²-6x+5=0}={1，5}≠∅，
∵A∪B=A，
∴B⊆A
若B=∅，则△＜0，即4（a+1）²-4（a²-3）＜0，解得a＜-2；
若B≠∅且A=B，则有$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=-6}\\{{a}^{2}-3=5}\end{array}\right.$，不满足满足条件的a值；
当B≠∅且B={1}时，则有$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=-2}\\{{a}^{2}-3=1}\end{array}\right.$，解得：a=-2，
当B≠∅且B={5}时，则有$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=-10}\\{{a}^{2}-3=25}\end{array}\right.$，不满足满足条件的a值，
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤-2}．

点评 本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据已知条件，构造出关于a的不等式组，是解答本题的关键．