Question

已知函数 

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在=1处取得极值，对任意的∈（0，+∞），≥恒成立，求实数b的取值范围；

（3）当＞＞时，求证：

Answer 1

解：（Ⅰ），

①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，

函数f（x）在（0，+∞）单调递减，

∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；

②当a＞0时，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，

∴f（x）在上递减，在上递增，

即f（x）在处有极小值．

∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，

当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．

（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，∴，…（6分）

令，可得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，

∴，即．

（Ⅲ）证明：，

令，

则只要证明g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，

又∵，

显然函数在（e﹣1，+∞）上单调递增．

∴，即g'（x）＞0，

∴g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，

即，

∴当x＞y＞e﹣1时，有．