Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=

2

3

AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=

1

2

PO．
（I）求证：PB∥平面COD；
（II）求二面角O-CD-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得CO⊥AB，DA⊥平面ABC，∠OPB=∠DOP=45°，从而OD∥PB，由此能证明PB∥平面COD．
（Ⅱ）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角O-CD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵DC=OB，∠ABC=45°，∴∠OCB=45°，∠COB=90°，
∴CO⊥AB，
∵P0⊥平面ABC，DA∥PO，∴DA⊥平面ABC，
∠DAO=90°，DA=AO，∴∠AOD=45°，
∴∠DOP=45°，
∵OB=OC=

2

3

AB=PO，∴∠OPB=45°，
∵∠OPB=∠DOP=45°，
∴OD∥PB，
∵PB?平面COD，OD?平面COD，
∴PB∥平面COD．
（Ⅱ）解：∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC，
又CO⊥AB，∴OC⊥平面ADPB，
∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设OB=OC=

2

3

AB=2，DA=AO=

1

2

PO=1，
由已知得O（0，0，0），C（2，0，0），
D（0，-1，1），A（0，-1，0）
∴

OC

=（2，0，0），

OD

=（0，-1，1），

AC

=（2，1，0），

AD

=（0，0，1），
设平面ODC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • OC =2x=0 n • OD =-y+z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，1），
设平面ACD的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • AC =2a+b=0 m • AD =c=0

，取a=1，得

m

=（1，-2，0），
设二面角O-CD-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

2 × 5

|=

10

5

．
∴二面角O-CD-A的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．