Question

已知双曲线

x2

16

-

y2

25

=1的左焦点为F₁，点P为双曲线右支上一点，且PF₁与圆x²+y²=16相切于点N，M为线段PF₁的中点，O为坐标原点，则|MN|-|MO|的值为（　　）

• A、2
• B、-1
• C、1
• D、-2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，作出图形，点P在双曲线右支上，利用双曲线的定义，可知，|PF₁|-|PF₂|=2a=8，|MF₁|-|OM|=

1

2

|PF₁|-

1

2

|PF₂|=4，转化后计算可得|MN|-|OM|=1，从而得到答案．

解答： 解：依题意，作图如图：
由双曲线方程

x2

16

-

y2

25

=1知，a²=16，b²=25，
∴c²=a²+b²=16+25=41，
依题意知，|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
∵点M为线段PF₁的中点，O为F₁F₂的中点，
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，|MF₁|=

1

2

|PF₁|，
∴|MF₁|-|OM|=

1

2

|PF₁|-

1

2

|PF₂|=4，①
又在直角△NF₁O中，|ON|=4，|OF₁|=c=

41

，
∴|NF₁|=

( 41 )2-42

=5，②
而|MF₁|-|NF₁|=|MN|，
∴|MN|+5-|OM|=4．
∴|MN|-|OM|=4-5=-1．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理与勾股定理的应用，考查分析转化思想与运算求解能力，属于难题．