Question

【题目】已知抛物线： 的焦点为，圆： .直线与抛物线交于点、两点，与圆切于点.

（1）当切点的坐标为时，求直线及圆的方程；

（2）当时，证明： 是定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）圆： ，直线： （或）；

或圆： ，直线： （或）.（2）定值为.

【解析】试题分析:（1）将代入圆方程，即可求得的值，根据圆的方程求得圆心，再根据直线的斜率公式求得的斜率，则直线的方程斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求得的方程；

（2）将当垂直与轴时，求得和点坐标，利用两点之间的斜率公式，即可求得的值；当不垂直于轴时，由直线与圆相切，求得，将直线代入抛物线方程．利用韦达定理及弦长公式求得，利用抛物线的定义， ，即可求得是定值．

试题解析:

（1）把点代入圆的方程可得：

或.

（i）当时，圆.∴圆心， ，

∴，∴的方程为： ，化简得： .

（ii）当时，圆，∴圆心， ，

∴，∴的方程为： ，化简得： .

综上所述，圆，直线（或）；

或圆，直线（或）.

（2）时，由（1）知，圆.

（i）当垂直于轴时， ， ， ，

∴， .∴.

（ii）当直线不垂直于轴时，设直线.

∵直线与圆相切.∴,∴, .

联立直线与抛物线，得 .

∴ .

又∵， ，

∴

.

由抛物线的性质可知， ，

∴，∴.

综上所述， 是定值，且该定值为2.