Question

12．已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，离心率为$\frac{1}{2}$，M、N是平面内两点，满足$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，线段NF₁的中点P在椭圆上，△F₁MN周长为12
（1）求椭圆C的方程；
（2）若与圆x²+y²=1相切的直线l与椭圆C交于A、B，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$（其中O为坐标原点）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设|F₁P|=m，|F₂P|=n，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，可得F₂是线段F₁M的中点，又线段NF₁的中点P在椭圆上，△F₁MN周长为12．可得m+n=2a，2m+2n+4c=12，可得a+c=3．由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）如图所示，①当AB⊥x轴时，把x=±1代入椭圆方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解出可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-$\frac{5}{4}$．
②当AB的斜率存在时，设切线AB的方程为：y=kx+m．利用切线的性质可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即：m²=1+k²．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把y=kx+m代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，把根与系数的关系代入$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$-\frac{5+5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）设|F₁P|=m，|F₂P|=n，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，∴F₂是线段F₁M的中点，
又线段NF₁的中点P在椭圆上，△F₁MN周长为12．
∴m+n=2a，2m+2n+4c=12，可得a+c=3．
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）如图所示，
①当AB⊥x轴时，把x=±1代入椭圆方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
解得：y=$±\frac{3}{2}$．
可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$1-\frac{9}{4}$=-$\frac{5}{4}$．
②当AB的斜率存在时，设切线AB的方程为：y=kx+m．
则$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化为：m²=1+k²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把y=kx+m代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=km（x₁+x₂）+k²x₁•x₂+m²
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=km（x₁+x₂）+（k²+1）x₁•x₂+m²
=km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+（k²+1）$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+m²
=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
=$-\frac{5+5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
=$-\frac{5}{4}$-$\frac{5}{12+16{k}^{2}}$∈$[-\frac{5}{3}，-\frac{5}{4}）$，
综上可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$∈$[-\frac{5}{3}，-\frac{5}{4}]$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、数量积运算性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．