Question

15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）求证：直线BD∥平面EFGH；
（3）若AC⊥BD，且AC=12，BD=8，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）推导出EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，且 FG=$\frac{1}{2}$BD，由此能证明四边形EFGH为平行四边形．
（2）由BD∥EH，能证明BD∥平面EFGH．
（3）推导出EF∥AC，且 EF=$\frac{1}{2}$AC=6，EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD=4，由AC⊥BD，得EH⊥EF，从而四边形EFGH为矩形，由此能求出四边形EFGH的面积．

解答 证明：（1）在△ABD中，∵E为AB中点，H为AD中点，
∴EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD，…（1分）
同理：FG∥BD，且 FG=$\frac{1}{2}$BD，…（2分）
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．  …（4分）
（2）由（1）知，BD∥EH，
又BD?平面EFGH，EH?平面EFGH…（7分）
∴BD∥平面EFGH…（8分）
解：（3）在△ABC中，∵E为AB中点，F为BC中点，AC⊥BD，且AC=12，BD=8，
∴EF∥AC，且 EF=$\frac{1}{2}$AC=6，…（10分）
又EH∥BD，且 EH=$\frac{1}{2}$BD=4，…（12分）
由AC⊥BD，得EH⊥EF，即四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH的面积S=EH•EF=24…（14分）

点评 本题考查四边形为平行四边形的证明，考查线面平行的证明，考查四边形的面积的求法，考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．