Question

3．${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展开式中常数项是117．

Answer 1

分析 ${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$3^4-r$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$.$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^2r-3k．令2r-3k=0，则k=0时，r=0；k=2时，r=3．代入即可得出．

解答 解：${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$3^4-r$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$．
$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^2r-3k．
令2r-3k=0，则k=0时，r=0；k=2时，r=3．
∴${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展开式中常数项=3⁴+${∁}_{3}^{2}×{∁}_{4}^{3}×3$=117．
故答案为：117．

点评 本题考查了二项式定理的应用、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．