Question

11．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+acosx$，g（x）是f（x）的导函数．
（1）若f（x）在$（\frac{π}{2}，f（\frac{π}{2}））$处的切线方程为$y=\frac{π+2}{2}x-\frac{{{π^2}+4π}}{8}$，求a的值；
（2）若a≥0且f（x）在x=0时取得最小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率，结合已知切线方程，可得a的值；
（2）求出f（x）的导数，可得g（x）的解析式和导数，讨论a=0，a＞0，分0＜a≤1，a＞1，求出单调区间和极值、最值，结合零点存在定理，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+acosx$，
f′（x）=x-asinx，f′（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$-a=$\frac{π+2}{2}$，
所以a=-1，经验证a=-1合题意；
（2）g（x）=f′（x）=x-asinx，g′（x）=1-acosx，
①当a=0时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²，显然在x=0时取得最小值，∴a=0合题意；
②当a＞0时，
（i）当$\frac{1}{a}$≥1即0＜a≤1时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，又g（0）=0，
∴当x＜0时，g（x）＜0 即f′（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0 即f′（x）＞0
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
∴f（x） 在x=0时取得最小值，
∴当0＜a≤1时合题意；
（ii）当0＜$\frac{1}{a}$＜1即a＞1时，在（0，π）内存在唯一x₀=arccos$\frac{1}{a}$使g′（x）=0，
当x∈（0，x₀）时，∵y=cosx在（0，π）上是单调递减的，∴cosx＞cosx₀=$\frac{1}{a}$，
∴g′（x）=a （$\frac{1}{a}$-cosx）＜0，∴g（x） 在（0，x₀）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即f′（x）＜0，∴f（x）在（0，x₀）内单调递减；
∴x∈（0，x₀）时，f（x）＜0  这与f（x）在x=0时取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，
∴当a＞1时不合题意；
综上，a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法以及方程思想、转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．