Question

13．已知等差数列{a_n}，a₁=-ll，公差d≠0，且a₂，a₅，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，列方程解方程可得公差，进而得到所求通项公式；
（2）由数列{a_n}的通项公式，可得等差数列中项的正负，运用等差数列的求和公式，分类讨论即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=-ll，公差d≠0，且a₂，a₅，a₆成等比数列．
可得a₅²=a₂a₆，
即为（-11+4d）²=（-11+d）（-11+5d），
解方程可得d=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=-11+2（n-1）=2n-13；
（2）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
则S_n=$\frac{1}{2}$n（a₁+a_n）=$\frac{1}{2}$n（2n-24）=n²-12n，
由a_n=2n-13，当n≤6时，a_n＜0，当n≥7时，a_n＞0．
b_n=|a_n|，数列{b_n}的前n项和T_n．
即有当n≤6时，前n项和T_n=-S_n=12n-n²；
当n≥7时，前n项和T_n=S_n-S₆-S₆=n²-12n-2×（-36）=n²-12n+72．
综上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，n≤6，n∈N*}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7，n∈N*}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，和等比数列的中项的性质的运用，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．