Question

5．某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．
（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；
（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；
（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设乙班共有学生x名，则$\frac{8}{80}=\frac{6}{x}$，解得x=60．即乙班共有学生60名．由测试成绩可知：A，B，C，E四名学生为优秀生，即可得出．
（2）至少有两名优秀生的情况包括两种：一种是只有两名优秀学生，另一种是3名都是优秀生．利用互斥事件与相互独立事件、古典概率计算公式即可得出．
（3）由已知可得：ξ的值为0，1，2，从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取1名是优秀生的概率为$\frac{2}{3}$．
则ξ～B$（2，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{2-k}$，即可得出分布列与数学期望．

解答 解：（1）设乙班共有学生x名，则$\frac{8}{80}=\frac{6}{x}$，解得x=60．即乙班共有学生60名．由测试成绩可知：A，B，C，E四名学生为优秀生，∴$60×\frac{4}{6}$=40．
∴用上述样本数据估计乙班优秀生的数量为40
（2）至少有两名优秀生的情况包括两种：一种是只有两名优秀学生，另一种是3名都是优秀生．
∴要求的概率P=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（3）由已知可得：ξ的值为0，1，2，从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取1名是优秀生的概率为$\frac{2}{3}$．
则ξ～B$（2，\frac{2}{3}）$，P（ξ=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{2-k}$，可得P（ξ=0）=$\frac{1}{9}$，P（ξ=1）=$\frac{4}{9}$，P（ξ=0）=$\frac{4}{9}$．

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

∴Eξ=$2×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了分层抽样、互斥事件与相互独立事件、古典概率计算公式、二项分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．