Question

10．抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}=0$，则|AF|-|BF|=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，分别求得A和B点横坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得则|AF|-|BF|．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），假设直线AN的斜率k存在，设AB方程为：y=k（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}=0$，则∠NBF=90°，
∴（x₁-1）（x₁+1）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=1，∴x₁²+4x₁-1=0（x₁＞0），∴x₁=-2+$\sqrt{5}$，
∵x₁x₂=1，∴x₂=2+$\sqrt{5}$，
∴|AF|-|BF|=（x₂+1）-（x₁+1）=4，
故选C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．