Question

20．如图，在三棱锥A-BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记$\frac{BF}{BA}=λ$．
（1）当$λ=\frac{1}{3}$时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；
（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF与BC所成角的余弦值．
（2）求出平面ACD的法向量，由CF与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$，利用向量法能求出λ．

解答 解：（1）连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），
∵F是线段AB上一动点，且$\frac{BF}{BA}$=λ，
则$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BA}$=$λ（-1，0，\sqrt{3}）$=（-$λ，0，\sqrt{3}λ$），∴F（1-λ，0，$\sqrt{3}λ$），
当$λ=\frac{1}{3}$时，F（$\frac{2}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{5}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\frac{5}{3}}{\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}•\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}}$=$\frac{5\sqrt{28}}{56}$，
∴异面直线DF与BC所成角的余弦值为$\frac{5\sqrt{28}}{56}$．
（2）$\overrightarrow{CF}$=（1-$λ，-\sqrt{3}，\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DA}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，-1$），
∵CF与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|2\sqrt{3}（1-λ）|}{\sqrt{（1-λ）^{2}+3+（\sqrt{3}λ）^{2}}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或λ=2（舍），
∴λ=2．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．