Question

8．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB∥EA，AC⊥BC，且BC=BD=3，AE=2，AC=3$\sqrt{2}$，AF=2FB
（1）求证：CF⊥EF；
（2）求点D到平面CEF的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，CF⊥AB，CF⊥EA，从而CF⊥平面EABD，由此能证明CF⊥EF．
（2）连结DF，推导出DF⊥EF，DF⊥CF，从而DF⊥平面EFC，进而DF为点D到平面CEF的距离，由此能求出点D到平面CEF的距离．

解答 证明：（1）∵AC=3$\sqrt{2}$．BC=3，AC⊥BC，∴AB=3$\sqrt{3}$，
∵AF=2FB，∴FB=$\sqrt{3}$，
又cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF²=BC²+BF²-2BC×BFcosB=6，
∵CF²+BF²=BC²，∴CF⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴CF⊥EA，
∵EA∩AB=A，∴CF⊥平面EABD，∴CF⊥EF．
解：（2）连结DF，在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，
在Rt△DBF中，DF=$\sqrt{D{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
在直角梯形EABD中，ED=$\sqrt{A{B}^{2}+（DB-AE）^{2}}$=$\sqrt{27+1}$=2$\sqrt{7}$，
∵ED²=EF²+DF²，∴DF⊥EF，
∴CF⊥平面EABD，∴DF⊥CF，
∵EF∩DF=F，∴DF⊥平面EFC，
∴DF为点D到平面CEF的距离，
∴点D到平面CEF的距离DF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．