Question

4．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．
（I）求证：EM⊥AD；
（II）求证：MN∥平面ADE；
（III）求点A到平面BCE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EM⊥AB，从而EM⊥平面ABCD，由此能证明EM⊥AD．
（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，推导出四边形AMNF是平行四边形，从而MN∥AF，由此能证明MN∥平面ADE．
（III）设点A到平面BCE的距离为d，由V_A-BCE=V_E-ABC，能求出点A到平面BCE的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，（1分）
∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM?平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，（4分）
∵AD?平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）
（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，
∵N是CE的中点．，∴NF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵M是AB的中点，∴AM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴NF$\underset{∥}{=}$AM，∴四边形AMNF是平行四边形，（7分）
∴MN∥AF，（8分）
∵MN?平面ADE，AF?平面ADE，
∴MN∥平面ADE．（10分）
解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，
由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=$\sqrt{3}$，
则CE=$\sqrt{6}$，BN=$\sqrt{B{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，（12分）
∴${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}CE•BN=\frac{\sqrt{15}}{2}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BA×BC×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∵V_A-BCE=V_E-ABC，（13分）即$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×d=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×ME$，
解得d=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，故点A到平面BCE的距离为$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．（14分）

点评 本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．