Question

19．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=$\frac{2π}{3}$，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=$\sqrt{3}$，点F，G分别是线段PB，PD上的中点，E在PA上，且PA=3PE．
（Ⅰ）求证：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出FG∥BD，由此能证明BD∥平面EFG．
（Ⅱ）推导出OA⊥OB，PO⊥OA，PO⊥OB，以O为原点，OA、OB、OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EFG的成角的正弦值．
（Ⅲ）法1：延长EF，EG分别交AB，AD延长线于M，N，连接MN，发现刚好过点C，连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．
法2：记平面EFG与直线PC的交点为H，设$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$，利用向量法求出λ=1．从而H即为点C．连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．

解答 证明：（Ⅰ）在△PBD中，
∵点F，G分别是线段PB，PD上的中点，
∴FG∥BD，
∵BD?平面EFG，FG?平面EFG，
∴BD∥平面EFG．
解：（Ⅱ）∵底面ABCD是边长为2的菱形，
∴OA⊥OB，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB，
如图，以O为原点，OA、OB、OP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则$A（1，0，0），B（0，\sqrt{3}，0），C（-1，0，0），D（0，-\sqrt{3}，0），P（0，0，\sqrt{3}）$，$E（\frac{1}{3}，0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，$F（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），G（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$，$\overrightarrow{GF}=（0，\sqrt{3}，0）$，
设平面EFG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令$x=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3}{2}，0，\sqrt{3}$），
∵cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴直线AB与平面EFG的成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．
（Ⅲ）法1：延长EF，EG分别交AB，AD延长线于M，N，连接MN，发现刚好过点C，
连接CG，CF，
则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．
法2：记平面EFG与直线PC的交点为H，设$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$，
则$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{PH}=（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）+λ（-1，0，-\sqrt{3}）=（-λ，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{（1-2λ）\sqrt{3}}}{2}）$
由$\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{n}$=（-$λ，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{（1-2λ）\sqrt{3}}{2}$）•（-$\frac{3}{2}，0，\sqrt{3}$）=0，解得λ=1．
所以H即为点C．
所以连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查平面与四棱锥的交线的作法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．