Question

9．函数f（x）若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（Ⅰ）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；
（Ⅱ）是否存在常数m，使得定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=2^x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据局部对称点的定义进行证明即可．
（Ⅱ）结合局部对称点的定义，结合指数函数的性质进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
由f（-x）=-f（x） 得到关于x的方程2bx²-2b=0，…（1分）
当b≠0时，x=±1；当b=0，x∈R等式恒成立，
所以函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=2^x+m，∴f（-x）=2 ^-x+m
由f（-x）=-f（x） 得到关于x的方程2^x+2^-x+2m=0，…（6分）
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（8分）
令t=2^x∈$[\frac{1}{2}，2]$，则$-2m=t+\frac{1}{t}∈[2，\frac{5}{2}]$，解得$m∈[-\frac{5}{4}，-1]$．…（12分）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据局部对称点的定义建立方程关系是解决本题的关键．