Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为4
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若k_AC•k_BD=-$\frac{1}{4}$
（i）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范围；（ii）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=4，a²=b²+c²．联立解得a，b．即可得出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）当直线AB的斜率不存在时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由k_OA•k_OB=k_AC•k_BD=-$\frac{1}{4}$．可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，且x₁•x₂≠0，利用根与系数的关系可得2m²=4k²+1．可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$的取值范围．
（ii）由椭圆的对称性可知，S_{四边形ABCD}=4S_△OAB．设原点到直线AB的距离为d，则S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d，利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=4，a²=b²+c²．
解得a=2，b=1．
所以椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）（i）当直线AB的斜率不存在时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴k_OA•k_OB=k_AC•k_BD=-$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，且x₁•x₂≠0，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$+km•$\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$+m²=-$\frac{1}{4}$$•\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
整理上式，可得2m²=4k²+1．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$=$\frac{3}{2}（1-\frac{2}{4{k}^{2}+1}）$∈$[-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$．
又x₁•x₂≠0，故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≠0．
综上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈$[-\frac{3}{2}，0）$∪$（0，\frac{3}{2}]$．
（ii）由椭圆的对称性可知，S_{四边形ABCD}=4S_△OAB．
设原点到直线AB的距离为d，则S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|$•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4•\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$$•\sqrt{\frac{4{k}^{2}+1}{2}}$=1．
所以，S_{四边形ABCD}=4S_△OAB=4．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、数量积运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．