Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2，$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=3$，$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=3$，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．