Question

14．如图，四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点，SA=AD=2，$AB=\sqrt{6}$
（I）求证：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求证：SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱锥S-AEF体积的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF是△SCD的边CD的中位线，从而EF∥CD，由四边形ABCD为矩形，得CD∥AB，从而EF∥AB，由此能证明EF∥平面SAB．
（Ⅱ）推导出SD⊥AF，AB⊥SA，从而AB⊥平面SAD，进而SD⊥AB，由EF∥AB，得SD⊥EF，由此能证明SD⊥平面AEF．
（Ⅲ）EF⊥平面SAD，从而△AEF为直角三角形，求出${S_{△AEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，三棱锥S-AFE的高为SF=$\sqrt{2}$，由此能求出三棱锥S-AFE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵E、F分别为SC、SD的中点，∴EF是△SCD的边CD的中位线，
∴EF∥CD…（1分）
∵四边形ABCD为矩形，∴CD∥AB，∴EF∥AB…（2分）
∵AB?平面SAB，EF?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．…（4分）
（Ⅱ）∵SA=AD，F为SD的中点，∴SD⊥AF，…（5分）
∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥SA，
∵AB⊥AD，SA，AD是平面SAD内的两条相交直线，
∴AB⊥平面SAD，
∵SD?平面SAD，∴SD⊥AB，…（7分）
∵EF∥AB，∴SD⊥EF，…（8分）
∵AF、EF是平面AEF内的两条相交直线，
∴SD⊥平面AEF．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知EF⊥平面SAD，
∴△AEF为直角三角形，∴${S_{△AEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（11分）
∵三棱锥S-AFE的高为SF=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥S-AFE的体积$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（13分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．