Question

3．下列说法错误的是：（1）、（2）、（3）．
（1）已知函数y=sinωx的最小正周期为2π，则ω=1；
（2）在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），B（1，0），C（0，2$\sqrt{2}$），用斜二测画法把△OBC画在对应的x′O′y′中时，B′C′的长是1；
（3）已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=13，|b-5a|≤12，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影的取值范围是[$\frac{5}{13}$，+∞）；
（4）f（x）=e^x•sinx（-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{11π}{4}$）的极大值点为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据函数y=sinωx的最小正周期求出ω的值；
（2）根据斜二测画法法则，求出B′C′的值有2个；
（3）根据投影的定义求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影取值范围即可；
（4）利用导数求出f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{4}$]上的极大值点即可．

解答 解：对于（1），函数y=sinωx的最小正周期为2π时，|ω|=$\frac{2π}{T}$=1，
∴ω=±1，命题错误；
对于（2），O（0，0），B（1，0），C（0，2$\sqrt{2}$），
用斜二测画法把△OBC画在对应的x′O′y′中时，
B′C′=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos45°}$=1，
或B′C′=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos135°}$=$\sqrt{5}$，命题错误；
对于（3），|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=13，|$\overrightarrow{b}$-5$\overrightarrow{a}$|≤12，
∴${|\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}|}^{2}$≤144，
即169-10$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+25≤144，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥5，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影是$\overrightarrow{a}$•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$≥$\frac{5}{13}$；
又cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤1，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影取值范围是[$\frac{5}{13}$，1]，命题错误；
对于（4），f（x）=e^x•sinx，∴f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），
令f′（x）=0，解得x=-$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$或$\frac{7π}{4}$或$\frac{11π}{4}$；
当x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调增，
x∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
x∈（$\frac{7π}{4}$，$\frac{11π}{4}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调增，
∴f（x）的极大值点是$\frac{3π}{4}$，命题正确；
综上，错误的命题是（1）、（2）、（3）．
故答案为：（1）、（2）、（3）．

点评 本题考查了向量的模长与向量的投影以及三角函数图象与性质和利用导数研究函数的极值问题，是综合题．