Question

【题目】已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间．

Answer 1

【答案】(1) 见解析； (2)增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)

【解析】

（1）只需先求出x≤0时的表达式．由奇函数的性质可得f（﹣0）=﹣f（0），可求得f（0）；当x＜0时，﹣x＞0，利用已知表达式可求得f（﹣x），根据奇函数性质可得f（x）=﹣f（﹣x），由此可求得f（x）；（2）根据二次函数的图像的性质可分段求出单调区间；

(1)设x<0，则－x>0.

∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.

又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.

又f(0)＝0，∴f(x)＝

(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图像，其图像如图所示．

由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，

减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)