【题目】在如图所示的多面体中,平面
,
平面
,
,且
,
是
的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成的二面角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角是
. 若存在,指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)在棱上存在一点
,使直线
与平面
所成的角是
,点
为棱
的中点.
【解析】
(Ⅰ)由,
是
的中点,得到
,进而得
,利用线面垂直的判定定理,证得
平面
,进而得到
.
(Ⅱ)以为原点,分别以
为
轴,如图建立坐标系
,求得平面
和平面
的一个法向量
,利用向量的夹角公式,即可求解.
(Ⅲ)设且
,求得
,利用向量的夹角公式,求得
,即可求解.
(1)证明:∵,
是
的中点,∴
,
又平面
,∴
,
∵,∴
平面
,
∴.
(2)以为原点,分别以
,
为
,
轴,如图建立坐标系
.
则:,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,则:
,
取,
,
,所以
,
设平面的一个法向量
,则
取,
,
,所以
,
.
故平面与平面
所成的二面角的正弦值为
.
(3)在棱上存在一点
,使得直线
与平面
所成的角是
,
设且
,
,
∴,
∴,
,
,∴
,
若直线与平面
所成的的角为
,
则 ,解得
,
所以在棱上存在一点
,使直线
与平面
所成的角是
,点
为棱
的中点.
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【题目】直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为________.
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【题目】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一~五组区间分别为
,
,
,
,
,
).
(1)求选取的市民年龄在内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
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【题目】随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加.下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据.
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与
的关系,请用相关系数
加以说明;(系数精确到0.001)
(2)建立关于
的回归方程
(系数精确到0.01);如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件,预测至少需投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).
参考数据: ,
,
,
,
,其中
,
分别为第
个月的促销费用和产品销量,
.
参考公式:(1)样本的相关系数
(2)对于一组数据,
,
,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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【题目】下列叙述中正确的是( )
A. 若,则“
”的充分条件是“
”
B. 若,则“
”的充要条件是“
”
C. 命题“”的否定是“
”
D. 是等比数列,则
是
为单调递减数列的充分条件
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【题目】已知数列满足
,
,其中
.
(1)设,求证:数列
是等差数列,并求出
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,是否存在正整数
,使得
对于
恒成立,若存在,求出
的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
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【题目】已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图像,并指出f(x)的单调区间.
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【题目】某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙.先等距安装
根立柱,然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元,一块长为
米的玻璃造价为
元.假设所有立柱的粗细都忽略不计,且不考虑其他因素,记总造价为
元(总造价=立柱造价+玻璃造价).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)当时,怎样设计能使总造价最低?
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