Question

【题目】已知函数f(x)＝excos x－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝1；（2）最大值为1，最小值为.

【解析】(1)因为f(x)＝excos x－x，

所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.

又因为 f(0)＝1，

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，

则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.

当x∈时，h′(x)＜0，

所以h(x)在区间上单调递减．

所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，

即f′(x)＜0.

所以函数f(x)在区间上单调递减．

因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.