Question

20．在等差数列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令 b_n=2${\;}^{{a}_{n}-10}$，证明数列{b_n}为等比数列；
（3）求数列{（2n-1）b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}中，由a₁₀=30，a₂₀=50．解得a₁=12，d=2，由此能求出数列{a_n}的通项a_n．
（2）由a_n=2n+10，知b_n=${2}^{{a}_{n}-10}$═2²ⁿ=4ⁿ，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（3）（2n-1）b_n=（2n-1）4ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{（2n-1）b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a_n=a₁+（n-1）d，a₁₀=30，a₂₀=50，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=30}\\{{a}_{1}+19d=50}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=12}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=12+2（n-1）=2n+10；
数列{a_n}的通项a_n=2n+10；
（2）证明：∵a_n=2n+10，
∴b_n=${2}^{{a}_{n}-10}$=2²ⁿ=4ⁿ，
∴∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{4}^{n+1}}{{4}^{n}}$=4，
∴数列{b_n}是以首项b₁=4，公比为4的等比数列．
（3）∵（2n-1）b_n=（2n-1）4ⁿ，
∴T_n=1•4+3•4²+…+（2n-1）4ⁿ，①
4T_n=1•4²+3•4³+…+（2n-3）4ⁿ+（2n-1）4ⁿ⁺¹，②
①-②，得-3T_n=4+2×4²+…+2×4ⁿ-（2n-1）4ⁿ⁺¹，
=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$-4-（2n-1）4ⁿ⁺¹，
=$\frac{2}{3}$（4ⁿ⁺¹-4）-4-（2n-1）4ⁿ⁺¹，
=$\frac{5-6n}{3}$×4ⁿ⁺¹-$\frac{20}{3}$，
T_n=$\frac{6n-5}{9}$×4ⁿ⁺¹+$\frac{20}{9}$，
数列{（2n-1）b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{6n-5}{9}$×4ⁿ⁺¹+$\frac{20}{9}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用，属于中档题．