Question

15．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由6S_n=（a_n+1）（a_n+2）得到6S_n+1=（a_n+1+1）（a_n+1+2），两式作差，即可证明{a_n}为等差数列，从而求出a_n．
（2）由a_n=3n-1，推导出b_n=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+2}$-$\sqrt{3n-1}$），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n．

解答 解：（1）∵6S_n=（a_n+1）（a_n+2），
∴6S_n+1=（a_n+1+1）（a_n+1+2），
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列
∵6S₁=（a₁+1）（a₁+2），
∵a₁＞1，
∴a₁=2，
∴a_n=3n-1，
（2）b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-1}+\sqrt{3n+2}}$=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+2}$-$\sqrt{3n-1}$），
∴{b_n}的前n项和为$\frac{1}{3}$$\sum_{i=1}^{n}$（$\sqrt{3i+2}$-$\sqrt{3i-1}$）=$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3n+2}$-$\sqrt{2}$）

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法的合理运用．