Question

6．抛物线x²=-8y的准线交y轴于点A，过A作直线交抛物线于M，N两点，点B在抛物线的对称轴上，若（2$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{MN}$）⊥$\overrightarrow{MN}$，则|$\overrightarrow{OB}$|的取值范围是（6，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），联立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，令x=0可求B的纵坐标，结合K的范围可求|$\overrightarrow{OB}$|的范围

解答 解：由题意可得A（0，2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=-8y}\end{array}\right.$可得x²+8kx+16=0
则可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-4k，y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
又2$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{MN}$=2$\overrightarrow{BM}$+2$\overrightarrow{ME}$=2$\overrightarrow{BE}$，
∵（2$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{MN}$）⊥$\overrightarrow{MN}$，即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线
则MN的垂直平分线y+4k²-2=-$\frac{1}{k}$（x+4k）与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
则|$\overrightarrow{OB}$|=2+4k²＞6
故答案为（6，+∞）．

点评 本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于向量知识的综合应用．