Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

3

，半焦距为c（c＞0），且a-c=1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当k₁=1时，求S_△AOB的值；
（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证：

k1

k2

为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，得

c a = 2 3 a-c=1

解得

a=3 c=2

∴b²=a²-c²=5，
故椭圆Γ的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
由

y=x+2 x2 9 + y2 5 =1

消去y并整理，得14x²+36x-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

，
∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

30

7

．
设O点到直线AB的距离为d，则d=

|0-0+2|

2

=

2

．
∴S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

30

7

×

2

=

15 2

7

．…（8分）
（Ⅲ）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直线AR的方程为y=

y1

x1-1

（x-1），即x=

x1-1

y1

y+1．
由

x= x1-1 y1 y+1 x2 9 + y2 5 =1

消去x并整理，得

5-x1

y12

y²+

x1-1

y1

y-4=0．
则y₁y₃=-

4 y12

5-x1

，∵y₁≠0，∴y₃=

4y1

x1-5

，
∴x₃=

x1-1

y1

y₃+1=

x1-1

y1

•

4y1

x1-5

+1=

5x1-9

x1-5

．
∴C（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

）．同理D（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）．
∴k₂=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

4y1(x2-5)-4y2(x1-5)

(5x1-9)(x2-5)-(5x2-9)(x1-5)

=

4y1(x2-5)-4y2 (x1-5)

16(x2-x1)

．
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂=

4k1(x1+2)(x2-5)-4k1(x2+2)(x1-5)

16(x2-x1)

=

7k1(x2-x1)

4(x2-x1)

=

7k1

4

∴

k1

k2

=

4

7

为定值．…（14分）