Question

18．命题“?x∈R，ax²-2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是（-∞，0）∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 将条件转化为“?x∈R，ax²-2ax+3≤0成立，检验a=0是否满足条件，当a≠0 时，必须a＜0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4{a}^{2}-12a≥0}\end{array}\right.$，从而解出实数a的取值范围．

解答 解：命题“ax²-2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“?x∈R，ax²-2ax+3≤0成立”是真命题  ①．
当a=0时，①不成立，
当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4{a}^{2}-12a≥0}\end{array}\right.$，
∴a＜0或a≥3
故答案为：（-∞，0）∪[3，+∞）．

点评 本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．