Question

3．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为$（{-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}}）$
（1）求$\frac{sin2α+cos2α+1}{1+tanα}$的值；
（2）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由点P的坐标为$（{-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}}）$，可得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，tanα=$-\frac{4}{3}$，sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos²α-1，代入$\frac{sin2α+cos2α+1}{1+tanα}$即可得出．
（2）由$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，可得$β=α-\frac{π}{2}$，代入cos（α+β）=$cos（2α-\frac{π}{2}）$=sin2α，即可得出．

解答 解：（1）∵点P的坐标为$（{-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}}）$，∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，
∴tanα=$-\frac{4}{3}$，sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=2×$（-\frac{3}{5}）^{2}$-1=-$\frac{7}{25}$．
∴$\frac{sin2α+cos2α+1}{1+tanα}$=$\frac{-\frac{24}{25}-\frac{7}{25}+1}{1-\frac{4}{3}}$=$\frac{18}{25}$；
（2）∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0，∴$β=α-\frac{π}{2}$，
∴cos（α+β）=$cos（2α-\frac{π}{2}）$=sin2α=-$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．