Question

设命题p：2x²-3x+1≤0，命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≥0，若“￢p⇒￢q”为假命题，“￢q⇒￢p”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：若“￢p⇒￢q”为假命题，“￢q⇒￢p”为真命题，则“q⇒p”为假命题，“p⇒q”为真命题，故p是q充分不必要条件，则2x²-3x+1≤0的解集P，x²-（2a+1）x+a（a+1）≥0的解集Q，满足P?Q．

解答： 解：不等式2x²-3x+1≤0的解集P=[

1

2

，1]，
不等式x²-（2a+1）x+a（a+1）≥0的解集Q=（-∞，a]∪[a+1，+∞），
∵“￢p⇒￢q”为假命题，“￢q⇒￢p”为真命题，
∴“q⇒p”为假命题，“p⇒q”为真命题，
∴p是q充分不必要条件，
∴P?Q，
∴a+1≤

1

2

或a≥1，
故实数a的取值范围为：（-∞，-

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意避免不必要错误的发生．