Question

已知函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R，求：
（1）函数y的最大值；
（2）函数y的周期；
（3）函数y的单调增区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，化简函数的解析式为 y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，可得函数的最大值．
（2）根据正弦函数的周期性，求得函数的周期．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

解答： 解：（1）函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
故函数的最大值为

1

2

+

5

4

=

7

4

．
（2）函数的周期为

2π

2

=π．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．